10 заповедей арифметики

Фундаментальные Законы Арифметики
Действия над полиномами

Действуя полиномами, мы предполагаем, что общие законы арифметики чисел выполняются. В арифметике, используемые числа это группа действительный чисел.
Действительные числа содержат рациональные и иррациональные числа.
Рациональные числа могут быть представлены как отношение целых чисел; они включают такие доли как y/x и так далее, а также сами целые числа (включая 0), и отрицательные этих чисел.
Иррациональные числа - это числа, которые не могут быть так представлены, они включают такие числа как Пи, которое требует бесконечной последовательности цифр, чтобы записать его как десятичное число. Эти числа принимают отрицательные и положительные значения.
Сама по себе арифметика не может идти дальше действительных чисел, но алгебра и геометрия могут включать комлексные числа.

Законы Сложения:

А1: Сумма любых двух действительных чисел а и b есть действительное число, которое обозначается а+b.Действительнные числа закрыты действиями сложения, вычитания, умножения, деления, и изъятия корня. Другими словами, применение этих действий для действительных чисел дает снова действительное число.
А2: Результат сложения трех действительных чисел a, b и c, вне зависимости от порядка сложения, одинаков. Это закон ассоциативности для действия сложения.
А3: Для любого действительного числа а, есть действительное число ноль 0, называемое единицей сложения, так что: а+0=0+а=а.
А4: Для любого действительного числа а, есть действительное число (-а), называемое обратным слагаемым а, так что а+(-а)=0.
А5: Порядок сложения двух действительных чисел дает одинаковый результат: а+b=b+а. Это закон коммуникативности для действия сложения.

Каждый набор чисел послушный законам А1-А4 определяет группу. Если группа выполняет закон А5, то она называется коммуникативной группой (или группой Абеля).

Законы умножения:
Законы умножения подобны законам сложения. Особенное внимание стоит уделить единице умножения и обратному числу, М3 и М4.

М1: Умножение двух действительных чисел а и b есть действительное число, обозначаемое а∙b или аb.
M2: Результат умножения трех действительных чисел a, b и c, вне зависимости от порядка умножения, одинаков. (аb)c = а(bc). Это закон ассоциативности для действия умножения.
М3: Для любого действительного числа а, есть действительное число один 1, называемое единицей умножения, так что: а∙1=1∙а=а.
М4: Для любого действительного числа а, есть действительное число 1/а, называемое обратным множителем а, так что а(1/а) =(1/а)а=1.
М5: Порядок произведения двух действительных чисел дает одинаковый результат: аb=bа. Это закон коммуникативности для действия умножения.

Любой набор действительных чисел послушный пяти законам называется коммуникативной группой (или группой Абеля) для действия умножения.
Набор всех действительных чисел, не включая ноль - потому что деление на ноль запрещено - представляет такую коммуникативную группу с действием умножения.

Дистрибутивные Законы:
Еще одно важное свойство группы действительных чисел объединяет сложение и умножение в два дистрибутивных закона, как следует:

D1: a(b+c)=ab+ac
D2: (b+c)a=ba+ca

Любая группа элементов с отношением равенства, для которой два действия (такие как сложение и умножение) определены, и которые послушны всем законам для сложения А1-А5, законам для умножения М1-М5, и дистрибутивным законам D1 и D2, формируют поле.